Как Баффет пытался обмануть Гейтса в игре с кубиками, но проиграл математике

Однажды Уоррен Баффет предложил Биллу Гейтсу сыграть в необычную игру с кубиками. Баффет выложил на стол четыре кубика и объяснил правила. Каждый из них должен был выбрать по одному кубику, бросить его несколько раз, и тот, кто чаще выбрасывал большее число, выигрывал. Эти кубики не были пронумерованы как стандартные: вместо чисел от одного до шести на них были другие значения, которые отличались на каждом кубике. В качестве проявления вежливости Баффет предложил Гейтсу выбрать кубик первым. Это вызвало подозрения у Гейтса, который решил осмотреть кубики и настоял на том, чтобы Баффет выбрал кубик первым.

Обычно в играх право первого выбора даёт преимущество, так почему же в этом случае оба предпринимателя спорили за право второго выбора? Ответ заключается в необычном свойстве кубиков Баффета. Чтобы его понять, можно рассмотреть пример аналогичных кубиков, которые обладают теми же свойствами, что и кубики Баффета, но которые легче проанализировать.

Как часто кубик A будет выбрасывать большее число, чем кубик B? Поскольку на каждом кубике есть всего три различных числа, одну треть времени кубик A будет выбрасывать 9, что побеждает, независимо от бросков B. Одну треть времени кубик A выбрасывает 1, что проигрывает, независимо от бросков B. В оставшуюся треть времени кубик A выбрасывает 5, что побеждает на две трети бросков кубика B (тех, которые показывают 3 или 4). Если учесть эти наблюдения и правила вероятности, то получится, что A побеждает B в (⅓ x 1) + (⅓ x 0) + (⅓ x ⅔) = 5/9 случаев, или около 56% времени. Аналогичный расчёт показывает такую же вероятность победы кубика B над кубиком C — B тоже побеждает C примерно в 56% случаев. Таким образом, если A обычно побеждает B, а B обычно побеждает C, то, казалось бы, A должен побеждать C, не так ли? Неверно! C на самом деле побеждает A примерно в 56% случаев.

Такие кубики называют интранзитивными. Многие отношения в жизни подчиняются противоположному, транзитивному свойству: если Алисия старше Бруно, а Бруно старше Кассандры, то Алисия старше Кассандры. Это правильный вывод, потому что отношение «старше» подчиняется транзитивному свойству. Интранзитивные кубики удивляют наше восприятие, потому что отношение «обычно выбрасывает большее число» не является транзитивным, хотя кажется, что должно быть так. Важно отметить, что для того, чтобы выбрасывать большее число, кубику A не обязательно всегда побеждать кубик B. И, что особенно важно, существуют ситуации, в которых A побеждает B и одновременно проигрывает C. Это пересечение чисел на гранях позволяет кубикам проявлять интранзитивность.

С любым набором интранзитивных кубиков тот, кто выбирает первым в игре Баффета, оказывается в невыгодном положении, потому что второй игрок всегда может выбрать кубик, который, скорее всего, победит выбор противника. Многие впервые сталкиваются с интранзитивными играми через «камень, ножницы, бумага». Циклическая структура побед в этой игре гарантирует, что ни один выбор не имеет уникального превосходства над другим. Игра Баффета с кубиками аналогична тому, как если бы ваш противник заранее сообщил, что он собирается выбрать в игре «камень, ножницы, бумага», — ошибка, которая привела бы к его поражению.

Интранзитивные кубики были изобретены более 50 лет назад статистиком Стэнфорда Брэдли Эфроном. Каждый кубик в наборе Эфрона побеждает другой в впечатляющие две трети (около 67%) случаев. Мартин Гарднер популяризировал кубики Эфрона в своей легендарной колонке « Mathematical Games » в журнале Scientific American, но с тех пор математики придумали множество умных вариаций этих кубиков. Теперь известно, что любое количество кубиков (больше двух) может обладать интранзитивным циклом. Это означает, что, например, существует набор из 26 кубиков, в котором кубик A обычно побеждает кубик B, который обычно побеждает кубик C, и так далее вплоть до кубика Z, который, несмотря на своё место в конце длинной цепочки доминирующих кубиков, обычно побеждает кубик A.

Интранзитивные кубики не обязательно имеют шесть граней. На самом деле, существуют интранзитивные тройки кубиков с любым количеством граней (более двух). Голландский конструктор головоломок Оскар ван Девентер даже изобрёл набор из семи шестигранных кубиков, позволяющих играть в игру Баффета втроём. Другими словами, если бы Баффет и Гейтс пригласили Долли Партон сыграть с ними, Гейтс и Партон могли бы выбрать по одному кубику из семи, а у Баффета всё равно нашёлся бы один кубик из оставшихся пяти, который чаще всего побеждал бы оба их выбора.

Когда кажется, что природа интранзитивных кубиков уже понятна, математическая ловкость снова вызывает удивление. Например, можно рассчитать, что кубик A побеждает кубик B в 7/12 случаев (около 58%), кубик B побеждает кубик C в 7/12 случаев, а кубик C побеждает кубик A в 25/36 случаев (около 69%). Это не новое явление — эти кубики побеждают друг друга с разными вероятностями, но они по-прежнему интранзитивны. Однако если бросить не один кубик, а пару одинаковых, ситуация кардинально меняется. Что произойдёт, если бросить пару кубиков A против пары кубиков B? Будет ли вероятность победы такой же, как и раньше, поскольку кубики одинаковы, или дублирование кубиков усиливает преимущество A над B? В поразительном повороте пара кубиков A обычно проигрывает паре кубиков B! Более того, весь цикл меняется: пара кубиков B обычно проигрывает паре кубиков C, а пара кубиков C обычно проигрывает паре кубиков A. Этот эффект, объясняющий обратное усиление силы при дублировании, показывает, насколько необычными могут быть эти кубики.

Чтобы лучше понять, как дублирование кубиков может изменить их относительную силу, представьте себе простой пример с двумя двухгранными кубиками, X и Y. На обеих гранях X написано число 1, а на гранях Y — 0 и 3. Эти кубики равны по силе: Y выигрывает в половине случаев (когда выпадает 3) и проигрывает в половине случаев (когда выпадает 0). Однако при дублировании кубиков пара Y оказывается сильнее пары X. Пара X всегда выбрасывает сумму 2, а пара Y проигрывает только в том случае, если оба кубика покажут 0, что происходит лишь в одной четверти случаев. Похожее явление объясняет обратную силу в случае с интранзитивными кубиками.

Интранзитивные кубики не так очевидны, и кажется, что их существование должно быть редкостью. Но это ли причина их уникальности? Если известно только то, что кубик A обычно побеждает кубик B, а B обычно побеждает C, какова вероятность того, что A также обычно побеждает C, или наоборот? Изобретательные люди тщательно создавали все упомянутые кубики вручную, но могли ли они просто выбрать случайные числа на кубиках и найти интранзитивный набор?

Британский математик Тимоти Гауэрс решил ответить на этот вопрос. Гауэрс возглавляет Polymath Project — инновационную и относительно новую парадигму в математических исследованиях. Вместо того чтобы несколько математиков в одном или двух университетах работали над проблемой, Polymath Project использует подход коллективного разума: любое количество участников может сотрудничать над доказательством с помощью онлайн-дискуссий. В 2017 году Гауэрс предложил на своём блоге рассмотреть вопрос об интранзитивных кубиках. Заменив классную доску на раздел комментариев в WordPress, десятки учёных взялись за решение проблемы и разгадали её.

Если случайным образом назначить числа на три разных кубика и захотеть узнать вероятность того, что они будут интранзитивны, ответ зависит от того, что именно подразумевается под «случайным назначением чисел» на кубики. Команда Polymath смоделировала это с двумя естественными критериями. Так же, как на типичном шестигранном кубике встречаются числа от 1 до 6, случайный n-гранный кубик будет содержать числа от 1 до n (некоторые числа могут повторяться, а некоторые могут не встречаться вовсе). Также, как числа на обычном шестигранном кубике складываются в сумму 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6, команда Polymath потребовала, чтобы сумма чисел на n-гранном кубике была равна сумме чисел от 1 до n.

Так, что встречается чаще — транзитивные или интранзитивные кубики? Участники Polymath Project доказали , что три случайных n-гранных кубика будут интранзитивными примерно в половине случаев. Иными словами, знание того, что A обычно побеждает B, а B обычно побеждает C, почти не даёт информации о том, будет ли A побеждать C или наоборот. Я бы предположил, что транзитивные кубики встречаются чаще, чем интранзитивные. Можно предположить, что некоторые читатели, уставшие от подрыва своих ожиданий, предположат, что интранзитивные кубики встречаются чаще. Но эти ускользающие кубики настойчиво избегают прогнозов. Для трёх кубиков транзитивные и интранзитивные кубики встречаются с одинаковой частотой.