Могут ли цифры числа π скрывать произведения Шекспира?

Все круги, от луковых колец до колец Сатурна, обладают удивительным свойством: их длина окружности примерно в три раза больше их диаметра. Точнее, длина окружности равна 3,14159, или числу π, умноженному на диаметр.

Круги являются настолько фундаментальными фигурами, что число π, которое их описывает, оставляет свой след во всей математике. Число π является иррациональным, что означает, что его десятичное представление никогда не заканчивается и не повторяется. Для такой идеальной, симметричной формы может показаться удивительным, что круги подчиняются такому хаотичному числу, как π. Возникает вопрос: почему для этой простой формы не выбрано более "нормальное" отношение, например, 3?

Математики считают, что π является нормальным числом, как в бытовом, так и в техническом смысле. Нормальные числа имеют десятичные представления, которые содержат каждую цифру от 0 до 9 с одинаковой частотой, а также каждую двухзначную последовательность от 00 до 99. Это справедливо и для более длинных последовательностей. В долгосрочной перспективе десятичное разложение не проявляет предпочтения ни к каким цифрам или их комбинациям. Если случайно выбрать цифру из нормального числа, вероятность того, что это будет, например, 7, составляет 1 к 10.

Чтобы понять, насколько необычны нормальные числа, представьте, что цифры такого числа кодируют текст: 01 обозначает "a", 02 — "b" и так далее. В этом случае нормальные числа содержат все возможные тексты, которые когда-либо были или будут написаны. В бесконечном десятичном представлении π можно найти тексты Бейонсе, точную копию этой статьи, детальное описание того, что произойдет завтра, все разговоры, которые когда-либо были, и даже все произведения Шекспира.

Однако важно отметить, что не всякое бесконечное и непериодическое число (то есть иррациональное) является нормальным. Например, число 0,01001000100001…, в котором с каждым разом между единицами увеличивается количество нулей, является бесконечным и неповторяющимся, но не содержит всех возможных числовых последовательностей.

Математики до сих пор не смогли доказать, что π является нормальным числом. Теоретически, число может содержать все возможные тексты, но при этом не удовлетворять требованию равномерного распределения всех последовательностей, что необходимо для нормальности. Тем не менее, статистические тесты триллионов цифр числа π показывают, что его свойства соответствуют нормальности, хотя тестирование любого конечного числа цифр не может служить доказательством.

Интересно, что почти все числа являются нормальными. Если бы случайным образом выбрать точку на числовой оси, с вероятностью в 100 процентов она оказалась бы нормальным числом. Это сравнимо с известным мысленным экспериментом о том, что обезьяны, случайно набирающие текст на печатной машинке, со временем создадут все произведения Шекспира.

Таким образом, хотя на первый взгляд кажется странным, что простые и симметричные круги описываются таким хаотичным числом, как π, на самом деле это не должно удивлять. Вероятно, π является нормальным числом, а нахождение нормальных чисел в природе столь же неизбежно, как и нахождение иголки в стоге сена.