Новый мост между математическими мирами: как одна таблица может перевернуть математический мир

В 2018 году, когда Акшай Венкатеш готовился получить медаль Филдса — высшую награду в математике — он носил с собой лист бумаги с таблицей математических выражений, которые играли важную роль в теории чисел. Этот лист не был для него напоминанием о его достижениях, а скорее символом нерешенной проблемы, с которой он сталкивался в своих исследованиях. На одной стороне таблицы находились периоды, на другой — L-функции . Венкатеш и его коллега Йианнис Сакелларидис могли сопоставить периоды с L-функциями, но обратное сопоставление оставалось загадкой.

Периоды и L-функции — это фундаментальные математические объекты, тесно связанные с важнейшими вопросами в теории чисел и арифметике. Периоды возникают из анализа, а L-функции — это бесконечные суммы, которые помогают в понимании распределения простых чисел и других ключевых вопросов. Наиболее известной L-функцией является дзета-функция Римана, которая лежит в основе гипотезы Римана — одной из самых известных нерешенных проблем в математике. Однако, как оказалось, существовала связь между периодами и L-функциями, которую Венкатеш и его коллеги пытались понять.

Программа Лэнглендса , в рамках которой шла эта работа, является одним из самых амбициозных направлений современной математики, объединяющим арифметику, геометрию и анализ. Она была инициирована математиком Робертом Лэнглендсом в 1967 году, когда он предложил гипотезу о том, что важные объекты из анализа — автоморфные формы — можно сопоставить с объектами из алгебры — группами Галуа. Эти группы описывают симметрии полей чисел, таких как рациональные числа, и играют ключевую роль в понимании структуры чисел.

С тех пор математики работали над доказательством этой гипотезы, добившись успеха в ряде ограниченных случаев. Одним из таких достижений стало доказательство Эндрю Уайлсом великой теоремы Ферма в 1994 году, что было основано на применении идей программы Лэнглендса к частному случаю автоморфных форм и групп Галуа. Таким образом, даже частичные результаты по гипотезе Лэнглендса приводили к значительным прорывам в математике.

Венкатеш и Сакелларидис в 2012 году выпустили книгу, в которой они разработали метод для связывания периодов с L-функциями. Однако этот метод был ограничен тем, что они могли работать только в одном направлении: если им давали период, они могли вычислить, имеет ли он связанную с ним L-функцию. Однако обратное направление — предсказание того, какая L-функция может иметь связанный с ней период — оставалось недостижимым.

Понимая, что им не хватает необходимых инструментов для завершения работы, Венкатеш и Сакелларидис обратились к коллегам из других областей математики. Ключевым партнером стал Дэвид Бен-Зви, математик из Техасского университета в Остине, который специализировался на геометрическом подходе к математическим проблемам. Бен-Зви увидел возможность связать периоды и L-функции с помощью симплектической геометрии — области математики, используемой для описания основных вопросов физики, таких как механика и теория поля.

Этот подход оказался успешным. В июле 2023 года Венкатеш, Сакелларидис и Бен-Зви опубликовали 451-страничную рукопись, в которой предложили новый способ понимания взаимосвязи между периодами и L-функциями через геометрические пространства. Используя симплектическую геометрию, им удалось построить «двусторонний перевод» между этими двумя математическими объектами, что открыло новые горизонты для исследования в рамках программы Лэнглендса.

Этот прорыв оказался не только важным шагом в понимании периодов и L-функций, но и расширением самой программы Лэнглендса, которая теперь охватывает не только арифметику и анализ, но и геометрию. Новая работа позволила математическим объектам из разных областей «общаться» друг с другом, что существенно увеличивает количество методов и инструментов, доступных для решения ключевых задач в теории чисел.

Построение таких связей между различными областями математики — одна из главных целей программы Лэнглендса. Математики надеются, что, как только эти мосты будут окончательно построены, методы из одной области математики смогут использоваться для решения фундаментальных задач в других областях. Например, методы из геометрии могут быть применены для решения старых проблем арифметики, и наоборот.

Важно отметить, что работа Венкатеша, Сакелларидиса и Бен-Зви пока ограничена функциональными полями — особыми числовыми системами, которые возникают в геометрии. Однако они уверены, что этот подход можно будет развить и для числовых полей, таких как рациональные числа, что откроет путь к более глубокому пониманию числовых структур.

Таким образом, их исследование не только приближает математиков к решению фундаментальных вопросов теории чисел, но и укрепляет связи между различными областями математики, делая их более интегрированными и взаимодополняющими.