Прорыв в теории чисел: как молодые математики потрясли научный мир

Молодые математики сделали значительный прорыв в комбинаторике, решив одну из давних задач в теории чисел. Ашвин Сах и Метаб Соуни , начинавшие свою научную деятельность в Массачусетском технологическом институте (MIT), вместе с Джеймсом Ленгом, аспирантом Калифорнийского университета в Лос-Анджелесе (UCLA), разработали новое улучшение оценки размеров множеств целых чисел, которые не содержат арифметических прогрессий. Они вместе написали ошеломляющие 57 математических доказательств, многие из которых стали серьезными достижениями в различных областях.

Арифметические прогрессии — это последовательности чисел с равными интервалами, например, {9, 19, 29, 39, 49}. Хотя такие последовательности кажутся простыми, за ними скрывается сложная математическая структура, изучение которой представляет серьезную трудность.

Впервые гипотезу о таких множествах предложили в 1936 году математики Паль Эрдёш и Паль Туран, утверждая, что любое множество, содержащее хотя бы малую долю всех целых чисел, обязательно включает в себя произвольно длинные арифметические прогрессии. В 1975 году математик Эндре Семереди доказал гипотезу , что открыло новые направления в математических исследованиях.

В конце 1990-х годов Тимоти Гауэрс , математик, работающий сейчас в Коллеж де Франс, разработал теорию , позволяющую преодолеть это препятствие. Позднее он был награжден медалью Филдса, высшей наградой в математике, отчасти за эту работу. В 2001 году он применил свои методы к теореме Семереди, доказав лучшую границу размера наибольших множеств, которые избегают арифметических прогрессий любой заданной длины. В то время как математики использовали структуру Гауэрса для решения других задач в течение следующих двух десятилетий, его рекорд 2001 года оставался неизменным.

В 2022 году Ленг — тогда он был на втором году обучения в аспирантуре Калифорнийского университета в Лос-Анджелесе — решил разобраться в теории Гауэрса. Он не имел в виду теорему Семереди ; скорее, он надеялся ответить на технический вопрос, связанный с методами, разработанными Гауэрсом. Другие математики, опасаясь, что усилия, необходимые для решения задачи, затмят результат, пытались отговорить его. «Не зря», — сказал позже Ленг.

Больше года он не мог добиться никаких результатов. Однако в итоге ему удалось достичь прогресса. Сах и Сохни, которые работали над похожими вопросами, узнали о его исследовании. Оно их заинтересовало. "Я был поражен, что можно мыслить таким образом", — сказал Сохни.

Они поняли, что работа Ленга может помочь им продвинуться в изучении теоремы Семереди. За несколько месяцев эти три молодых математика разработали способ улучшить верхнюю границу для размера множеств, не содержащих арифметических прогрессий из пяти элементов. Затем они расширили свое исследование на прогрессии любой длины, что стало первым значительным шагом в решении этой проблемы за 23 года после доказательства Гауэрса. Гауэрс показал, что при увеличении исходного набора чисел множества, не содержащие прогрессий, становятся относительно меньше с определенной скоростью. Ленг, Сах и Сохни доказали, что это происходит намного быстрее, с экспоненциально большей скоростью.

Математическое сообщество особенно заинтересовал метод, который использовало трио для получения своего нового результата. Чтобы все сработало, им сначала пришлось усовершенствовать более ранний, технически сложный результат Грина, Теренса Тао из Калифорнийского университета в Лос-Анджелесе и Тамар Циглер из Еврейского университета. Математики полагают, что этот результат, который можно рассматривать как развитие теории Гауэрса, можно улучшить еще больше. "Кажется, что мы пока не до конца понимаем эту теорию", — сказал Грин. "Мы видим лишь некоторые ее аспекты".

После завершения доказательства в феврале Сах и Сохни оба закончили обучение. Однако их сотрудничество на этом не прекратилось. "Их удивительная способность заключается в том, чтобы брать что-то чрезвычайно сложное технически, разобраться в этом и улучшить", — сказал Чжао. "Трудно переоценить уровень их совместных достижений".