Тайна пучков Лере: как военнопленный перевернул математический мир

В 1940 году французский математик и артиллерийский офицер Жан Лере был взят в плен немцами. Чтобы избежать принуждения к работе на германские вооруженные силы, он заявил, что занимается топологией, хотя на самом деле был специалистом по гидродинамике. В течение почти пяти лет заключения Лере продолжал свои исследования в области топологии, создав одно из самых революционных понятий в современной математике — понятие «пучка».

В 1950-х и 1960-х годах Александр Гротендик популяризировал это понятие, и пучки стали играть ключевую роль в математике, став одним из основных инструментов в современной алгебраической геометрии.

Пучки можно представить как структуры, построенные поверх других математических объектов. Представьте себе математический объект как участок земли, а пучок — как сад на этом участке.

Пучки получили свое название, потому что включают присоединение «стеблей» к основному объекту. Лере назвал их «фасо» (французское слово для обозначения «пучков»), так как это напоминало ему связки собранной пшеницы. Пучки могут быть построены на самых различных математических объектах и принимать множество различных форм.

Даже самые простые пучки представляют собой довольно сложные математические сущности. Для их лучшего понимания можно построить один из них на прямой линии.

В качестве основного объекта возьмем числовую прямую:

Мы строим пучок не на отдельных точках, а на интервалах. Можно разбить числовую прямую на интервалы бесконечным числом способов. Один из примеров показан ниже.

Между каждой парой скобок находится интервал, включающий все точки между ними, но не включающий конечные точки. Например, интервал (0, 1) содержит все числа больше нуля и меньше 1.

Пучок содержит все интервалы, а не только какой-то один. Каждый интервал может быть назначен набором «секций». В этом примере секции представляют собой все возможные прямые линии, проходящие через интервал.

Возьмем только один интервал, как показано ниже. Здесь показаны только три секции, так как невозможно визуализировать их все одновременно.

Пучок состоит из всех секций на всех возможных интервалах и их объединений.

Это сложное математическое образование становится интересным, потому что оно скрывает внутреннюю простоту. На рисунке выше выбранные секции для различных интервалов конфликтуют. Линии пересекаются выше и ниже друг друга, вместо того чтобы совпадать.

Математики стремятся понять, что происходит, когда выбирается одна секция из каждого интервала и налагается требование совместимости различных секций, чтобы перекрывающиеся интервалы совпадали. При этом условии происходит нечто замечательное.

Если один интервал вложен в другой, линии должны совпадать на перекрытии.

Из этого локального условия вытекает глобальное следствие. Вместо множества маленьких линий остаются единственно возможные варианты, соответствующие правилу вложенности: прямые линии, продолжающиеся по всей числовой прямой.

Эти линии называются глобальными секциями. Одна из сильных сторон пучков в том, что такие глобальные объекты возникают из локальных условий.

Это был обзор пучка прямых линий, или линейных функций, над числовой прямой. Это один из самых простых пучков.

Можно создавать множество пучков над числовой прямой, аналогично тому, как можно высаживать различные цветы в саду на одном и том же участке земли. Существует пучок, состоящий из функций, графики которых не имеют разрывов, пучок функций, графики которых не имеют острых углов, и бесконечно много других.

Но это только начало. Вместо того чтобы высаживать другой цветок, можно заняться другим участком земли. Представьте себе построение пучка на окружности, а не на линии. Это создает структуру, похожую на цилиндр бесконечной высоты. Структура объектов, нарисованных на этом цилиндре, зависит от конкретной конструкции для определенного пучка.

До этого момента все рассматриваемые пучки можно было считать семействами функций. Но пучки могут быть значительно сложнее.

Цилиндр на рисунке выше можно рассматривать как происходящий из бесконечно высокого прямоугольника, стороны которого склеены. Если вместо этого скрутить концы прямоугольника перед склеиванием, как показано на рисунке ниже, получится бесконечно широкая лента Мёбиуса (невозможно нарисовать такую, поэтому показана конечная лента Мёбиуса). На этой ленте можно нарисовать кривые, напоминающие графики.

На любом небольшом локальном участке окружности эта кривая выглядит как график функции. Но в глобальном масштабе это не функция. Это связано с тем, что невозможно определить согласованную глобальную систему координат из-за скрутки. (Если обойти всю ленту, понятия «верх» и «низ» поменяются местами, что делает невозможным создание глобальной системы координат.) Математики называют такие объекты «скрученными функциями».

Хотя каждый пучок представляет собой огромное собрание объектов, можно рассматривать и все пучки на данном математическом объекте — числовой прямой, окружности или другом. Это похоже на рассмотрение всех возможных садов, которые можно посадить на данном участке земли. Это говорит о том, каким является этот участок. Некоторые участки — тропические леса, другие — пустыни. Исследование возможных пучков дает математикам способ исследовать структуру основного пространства, так же как знание того, какие растения растут в определенном типе почвы, дает информацию об этой почве.

Начиная с Гротендика, математики постепенно осознали, что коллекции пучков имеют много общих черт с коллекциями функций, но на более сложном уровне. Пучки можно складывать и умножать, а также выполнять с ними своеобразное исчисление.

В тюрьме Лере открыл дверь в совершенно новый математический мир.