Теорема о бутерброде с ветчиной: математика против жульничества на выборах

Представьте, вы решили пообедать и сделать бутерброд с ветчиной. Вдруг вы поскользнулись, и ваш обед разлетелся в разные стороны: ветчина под тарелкой, один кусок хлеба на полу, другой – на потолке. Звучит смешно, но математика говорит, что есть способ аккуратно разрезать этот хаос на две равные части одним движением – большим ножом или мачете. Это возможно благодаря особенной теореме, которую называют " теоремой о бутерброде с ветчиной ". Она утверждает, что можно одним прямым разрезом поделить любые три объекта на равные части, даже если они разбросаны кто куда.

Эта теорема не только о бутербродах. Она может работать с любыми объектами и в любом количестве измерений. Например, на листе бумаги (это два измерения) всегда найдется линия, которая разделит любые две фигуры пополам. Если добавить третий объект, нам понадобится трехмерное пространство, чтобы найти плоскость (как представить себе мачете, разрезающее комнату пополам), которая разделит их все одновременно.

А теперь представьте, что этот принцип применяется не к обеду, а к чему-то более серьезному, например, к выборам и разделению избирательных округов. В США, например, политики делят страну на округа таким образом, чтобы выиграть выборы, даже если большинство людей голосует за другую партию. Используя математику, можно "разрезать" эти округа так, чтобы результаты были справедливыми, но можно и так, чтобы одна сторона получила нечестное преимущество.

Как упоминалось, теорема о бутерброде с ветчиной имеет гораздо менее капризные последствия для вечной проблемы жульничества с избирательными округами в политике. В США государственные правительства делят свои штаты на избирательные округа, и каждый округ избирает члена в Палату представителей. Жульничество с избирательными округами - это практика умышленного выделения границ этих округов для политической выгоды. Для упрощенного примера представьте штат с населением из 80 человек. 75 процентов из них (60 человек) поддерживают фиолетовую партию, а 25 процентов (20 человек) предпочитают желтую партию. Штат будет разделен на четыре округа по 20 человек каждый. Кажется справедливым, что три из этих округов (75 процентов) должны принадлежать фиолетовым, а один - желтым, чтобы представительство штата в Конгрессе соответствовало предпочтениям населения. Однако хитрый картограф может изогнуть границы округов таким образом, что в каждом округе будет 15 избирателей фиолетовых и пять желтых. Таким образом, фиолетовые будут держать большинство в каждом округе, и 100 процентов представительства штата будет приходиться на фиолетовую партию, а не на 75 процентов. Фактически, при достаточно большом количестве избирателей, любое преимущество одной партии над другой (скажем, 50,01 процента фиолетовых против 49,99 процента желтых) может быть использовано для победы в каждом округе; просто сделайте так, чтобы 50,01 процента каждого округа поддерживали большинство.

Конечно, такие округа выглядят крайне искусственно. Казалось бы, очевидный способ ограничить жульничество с округами - это наложить ограничения на формы округов и запретить тентакулярные чудовища, которые мы часто видим на американских избирательных картах. Действительно, многие штаты вводят такие правила. Хотя может показаться, что требование к округам иметь «нормальные» формы могло бы в значительной степени улучшить ситуацию, умные исследователи применили определенную геометрическую теорему, чтобы показать, насколько это нелепо. Давайте вернемся к нашему примеру: 80 избирателей, среди которых 60 поддерживают фиолетовых и 20 желтых. Теорема о бутерброде с ветчиной говорит нам, что независимо от их распределения, мы можем провести прямую линию с ровно половиной фиолетовых избирателей и половиной желтых избирателей по обе стороны (30 фиолетовых и 10 желтых с обеих сторон). Теперь рассматривайте каждую сторону разреза как свою собственную проблему бутерброда с ветчиной, разделяя каждую половину своей прямой линией так, чтобы в каждом полученном регионе было 15 фиолетовых и пять желтых. Фиолетовые теперь имеют то же преимущество жульничества, что и раньше (они выигрывают каждый округ), но полученные регионы все просты с прямолинейными границами!

Даже если заставить политиков делить округа на равные и простые по форме части, они все равно смогут манипулировать границами так, чтобы выиграть. Математика и политика оказываются тесно связаны, и иногда для понимания этого достаточно просто пообедать бутербродом с ветчиной.