Велосипед в пятом измерении: математики решили многолетнюю головоломку

Математики предложили новый вид колеса, который имеет форму многомерного гитарного медиатора и способен катиться необычными способами, выходящими за пределы нашего трехмерного понимания. Это открытие решает давнюю геометрическую задачу, демонстрируя, как создавать объекты в измерениях, которые невозможно визуализировать.

Колеса катятся благодаря геометрической характеристике, называемой «постоянная ширина» — они выглядят одинаково широкими с любой стороны. Это свойство позволяет колесам поддерживать постоянное расстояние между двумя параллельными плоскостями, такими как земля и автомобиль, во время движения. Например, теннисный мяч имеет постоянную ширину, так как при его вращении между параллельными руками расстояние не изменяется. В отличие от него, овальное яйцо не имеет постоянной ширины.

Простыми примерами объектов постоянной ширины являются круги и сферы. Такие формы использовались человечеством для облегчения перемещения на протяжении тысячелетий. Круг в двух измерениях и сфера в трехмерном пространстве имеют максимальный объем для объектов постоянной ширины в любом измерении. Однако большой объем не всегда является преимуществом.

В 1980-х годах математик Одед Шрамм задал вопрос: как найти объекты постоянной ширины с минимальным объемом в любом измерении? Математики долгое время не могли найти способа решения этой задачи.

Эта проблема была решена только в июне этого года, когда международная команда математиков предложила новый метод создания объектов постоянной ширины. Их подход, включающий пересечение бесконечного числа n-мерных шаров, был опубликован на сервере arXiv.org . Этот метод показал, что такие объекты могут быть построены в любом измерении, занимая лишь часть объема традиционных форм.

Последние исследования предоставили алгоритм для создания объектов постоянной ширины в любом измерении, используя метод пересечения, аналогичный диаграммам Венна . В двух измерениях можно представить это следующим образом: начертите равносторонний треугольник и добавьте круг, центр которого находится в одной из вершин треугольника. Затем представьте, что этот круг перемещается вдоль контура треугольника, формируя в процессе пересечения знакомую форму — треугольник Рело .

Эта техника позволяет выявлять объекты постоянной ширины в любом измерении, при условии правильного выбора границ для каждого измерения. Например, в двух измерениях круг обводит меньшую четверть круга, в трех — восьмую часть сферы, и этот шаблон продолжается в более высокие измерения, увеличивая степень 2.

Новый метод значительно упрощает вычисление объема объектов в многомерном пространстве. Ранее требовались сложные интегралы, тогда как новый подход использует лишь две переменные независимо от размерности формы. Объем нового объекта в n-мерном пространстве на 0.9n раз меньше объема n-мерного шара, что означает экспоненциальное уменьшение объема с каждым добавленным измерением.

Хотя новые формы уменьшаются в размере с увеличением размерности, они не являются самыми маленькими возможными объектами постоянной ширины. В трех измерениях минимальный объем имеют тельца Мейснера . Новый метод открывает перспективы для дальнейшего изучения множества проблем, связанных с объектами постоянной ширины в многомерных пространствах.