Загадка корней полиномов: 85 лет поисков и одно доказательство

Недавно профессор Манджул Бхаргава из Принстонского университета нашёл решение 85-летней математической задачи, известной как гипотеза ван дер Ваардена. Это достижение не только углубляет наше понимание полиномиальных уравнений, но и раскрывает новые связи между корнями этих уравнений, которые ранее оставались скрытыми. Гипотеза, предложенная голландским математиком Бартелем Леендертом ван дер Ваарденом в 1936 году, ставила цель понять, сколько полиномов имеют корни, которые нельзя взаимозаменять без изменения результата уравнений.

Полиномиальные уравнения, такие как x² – 3x + 2 = 0, представляют собой одну из древнейших тем в математике. Корни этих уравнений — это значения переменной x, при которых уравнение становится равным нулю. Например, уравнение x² – 3x + 2 = 0 имеет корни 1 и 2. Однако не все полиномы решаются так просто. Уравнение x² – 5 = 0, например, не может быть решено с помощью рациональных чисел. Для этого вводится понятие нового числа — √5, который является корнем уравнения. Как только √5 найден, его можно умножить на –1, получив второй корень уравнения — –√5. Оба этих корня равнозначны и могут взаимозаменяться в решении многих уравнений.

Подобная взаимозаменяемость корней — наиболее распространённое явление в математике. Однако, как заметил математик Франк Торн, если попытаться заменить корни в некоторых случаях, например, как в уравнении x² – 3x + 2 = 0, на несоответствующие значения, это приведёт к математической "катастрофе". Таким образом, гипотеза ван дер Ваардена пыталась описать и измерить количество полиномов, в которых корни не являются взаимозаменяемыми.

Несмотря на её важность, гипотеза на протяжении десятилетий не имела полного решения. Продвижение шло медленно, хотя некоторые шаги были сделаны в последние десятилетия. Ситуация резко изменилась в последние годы, что можно связать с активным развитием теории чисел. Как отметил профессор Рейнер Дитманн из Университета Ройял Холлоуэй, вопросы классической теории чисел, такие как гипотеза ван дер Ваардена, вновь оказались в центре внимания математиков.

Вклад в этот прогресс во многом принадлежит самому Бхаргаве, получившему в 2014 году Филдсовскую медаль, которая считается высшей наградой в математике. Его работа стала своеобразным "толчком" для новых исследований. Бхаргава предложил инновационный метод для решения гипотезы ван дер Ваардена, основанный на разделении полиномов на несколько групп. Эти группы формировались на основе дискриминанта — числовой характеристики, связанной с корнями полиномов. Для каждой из групп использовались различные методы анализа, что позволило полностью доказать гипотезу.

Летом 2021 года интерес к гипотезе вновь усилился благодаря серии научных публикаций. В июне Сам Чоу и Рейнер Дитманн опубликовали статью , где сделали значительный шаг вперёд в решении задачи. Вскоре другая команда математиков представила ещё одно исследование, посвящённое этой теме. В июле Бхаргава выступил с докладом, где представил доказательство слегка изменённой версии гипотезы ван дер Ваардена, но уже через две недели на математическом конгрессе он объявил о полном решении задачи. В ноябре того же года его работа была опубликована.

Для решения гипотезы ван дер Ваарден предложил ограничить набор полиномов, с которыми нужно работать. Он рассматривал только уравнения, степень которых заранее известна — степень полинома определяется как наибольшая степень переменной x. Например, полином x² + 1 имеет степень 2, а x¹⁷ – 4 — степень 17. Далее он сосредоточил внимание только на монических полиномах — это полиномы, у которых первый коэффициент равен 1. Это позволило избежать дублирования: например, полиномы 2x² – 6x + 4 и x² – 3x + 2 имеют одни и те же корни. Наконец, он ограничил оставшиеся коэффициенты полиномов, выбрав число H, где коэффициенты находятся в пределах от –H до H.

Гипотеза ван дер Ваардена утверждала, что среди всех полиномов, выбранных по этим условиям, примерно Hⁿ⁻¹ из них будут иметь несменяемые корни. Именно это утверждение подтвердил Бхаргава в своём доказательстве.

Это решение стало результатом многолетних размышлений и сбора различных математических методов. В своём подходе Бхаргава использовал идеи из нескольких областей математики, объединив их как части головоломки для достижения окончательного результата. Эта работа не только закрывает долгую дискуссию вокруг гипотезы, но и открывает новые направления для исследований. Теперь математики могут сосредоточиться на том, что произойдёт при использовании большего множества чисел, чем рациональные, или изучить закономерности, связанные с взаимозаменяемостью корней.

Хотя доказательство Бхаргавы решает гипотезу ван дер Ваардена, его методы, вероятно, приведут к дальнейшим открытиям в области теории чисел.